История
Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли[K 1]. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году[11] для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году[12].
Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкости
| Полное давление | |
|---|---|
| Размерность | |
| Единицы измерения | |
| СИ | Дж/м3 = Па |
| СГС | эрг/см3 |
| Примечания | |
| Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости. | |
Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:
сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:
Здесь
- — плотность жидкости;
- — скорость потока;
- — высота;
- — давление;
- — ускорение свободного падения.
— 
— 
— высота;
— 
— Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением[2]. Могут также использоваться термины «весовое давление» , «статическое давление» и «динамическое давление» . По словам Д. В. Сивухина[13], нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.
, «статическое давление» 
. По словам Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии[14]).
Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли
Основная статья: Формула Торричелли
Иллюстрация формулы Торричелли
В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:
где
- — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,
- — скорость истечения жидкости,
- — атмосферное давление.
— Отсюда: . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде[15].
. Это — Другие проявления и применения закона Бернулли
Закон Бернулли объясняет эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем в широкой части
Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука[16].
Основная статья: Эффект ВентуриВдоль горизонтальной трубы координата постоянна и уравнение Бернулли принимает вид . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури[17] и струйного насоса[1].
постоянна и уравнение Бернулли принимает вид 
. Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»)[18].
Применение в гидравлике
Основные статьи: Гидравлика, Гидравлические потери и НапорПоследовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» :
:
где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:
| Напор[19] | |
|---|---|
| Размерность | |
| Единицы измерения | |
| СИ | метр |
| Примечания | |
| Полное давление, делённое на удельный вес. | |
- — гидравлическая высота[4] или напор[19],
- — нивелирная высота[4],
- — пьезометрическая высота[4] или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор[19],
- — скоростная высота[4] или скоростной напор[19].
— гидравлическая высота
— пьезометрическая высота
— скоростная высотаЗакон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора»[19].
Интеграл Бернулли в баротропных течениях
Основная статья: БаротропностьУравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости[K 2][K 3]. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: , что позволяет ввести функцию давления[22] В этих предположениях величина
, что позволяет ввести функцию давления
В этих предположениях величина
постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом заменяется на потенциал массовой силы .
Вывод интеграла Бернулли для баротропного течения[показать]
заменяется на потенциал 
.
Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости , интеграл Бернулли в виде [K 4] сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения[25].
, интеграл Бернулли в виде 
Формула Сен-Венана — Ванцеля
Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон[26]
![{\displaystyle p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0}}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ccd6bdcc66b452f3d1eeef2328e31f6614d864)
то уравнение Бернулли выражается так[27] (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):
- вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь
- — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,
- — давление и плотность газа,
- — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.
![{\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right]=\mathrm {const} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fa3f4d6583422926b77a37f197af8371ef3249)
вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь
— 
— давление и плотность газа,
— условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за тогда скорость истечения выражается через внешнее давление по формуле Сен-Венана — Ванцеля[28]:
тогда скорость истечения выражается через внешнее давление ![{\displaystyle v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b59f01218f76f263cc5ecad9817a8704ac96ee0)
Термодинамика закона Бернулли
Основная статья: ЭнтальпияИз термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости
где — энтальпия единицы массы, — гравитационный потенциал (равный для однородной силы тяжести), — энтропия единицы массы.
Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений[показать]
— 
для однородной силы тяжести), 
— Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбин. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющих удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс) и например давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежат на некоторой вертикальной линии (). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующего начальному и конечному давлению теплоносителя, равен половине изменения квадрата скорости[31].
). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующего начальному и конечному давлению теплоносителя, равен половине изменения квадрата скоростиОбобщения интеграла Бернулли
Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится[32]. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений[33]), в магнитной гидродинамике[34], феррогидродинамике[35]. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных[36] удельной энтальпии и удельной энтропии[37].
, интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных